.WWW.
The Prime Numbers




Un número primo es un número natural que sólo es divisible por 1 y por él mismo. Los números que no son primos se denominan compuestos. La infinitud de los números primos fue demostrada por Euclides alrededor del 300 a. C. Así, desde la antigüedad el estudio del orden de la sucesión de los números primos ha sido el aspecto más importante entre los teóricos, precisamente porque la incidencia individual de los números primos entre los naturales fue (hasta ahora) impredecible. El problema parecía tan insoluble que Leonhard Euler manifestó: “Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos motivos para creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará”. No obstante, en este artículo se muestran las relaciones matemáticas que explican el orden y la sucesión de estos números.


A prime number is a natural number that has exactly two distinct natural number divisors: 1 and itself. Natural numbers that are not prime are called composite. Infinitude of prime numbers exists, as demonstrated by Euclid around 300 BC. So, since the Ancient Greeks the problem of modeling the distribution of prime numbers is the most important subject of investigation for number theorists, because the occurrence of individual prime numbers among the natural numbers was (so far) unpredictable. So, Leonhard Euler said: Mathematicians have tried in vain to this day to discover some order in the sequence of prime numbers, and we have reason to believe that it is a mystery into which the mind will never penetrate. However, this article shows the patterns that explain the occurrence of individual prime numbers.




Desde la antigüedad los números primos han sido objeto de estudio de los matemáticos más eminentes. La tarea primordial ha estado dirigida a encontrar las relaciones matemáticas que expliquen el orden en la sucesión de estos números. Pero a pesar de que se le dedicó mucho esfuerzo a esta labor y se descubrieron muchas propiedades de los números primos, las relaciones matemáticas que explican el orden de la sucesión se resistieron por más de dos milenios a ser desveladas.


En la actualidad, el estudio de los números primos constituye quizás la parte más importante de la Teoría de números. Es bien conocido que la distribución global de los números primos menores que un entero parece respetar una ley; en cambio, la incidencia individual de cada número primo muestra un comportamiento azaroso, lo que impedía predecir el orden de la sucesión. Visto de este modo, la labor principal está dirigida a explicar y predecir la incidencia individual de los números primos sin tener que recurrir a los criterios de divisibilidad, así este enigma milenario quedó asociado a la popular hipótesis de Riemann, uno de los siete problemas matemáticos del milenio. Desde luego, este artículo muestra que ya no es necesario verificar dicha hipótesis, al menos, para explicar el orden y la sucesión individual de los números primos.


Mostrar las relaciones matemáticas que explican el orden y la sucesión de los números primos.


Dado el limitado espacio, no es posible describir la nueva metodología empleada para lograr este objetivo. A modo de resumen se puede decir que a partir de un conjunto de números se crearon varias bases de datos en la que los números naturales fueron analizados como variables independientes y dependientes. Después del análisis se crearon distintos sistemas de predicción según el conocimiento adquirido y las nuevas propiedades desveladas.
Se observó que 2 y 3 no comparten las propiedades del resto de los números primos, por ejemplo, para que un número no tenga otros divisores (a parte del 1 y el propio número) tiene que ser una unidad menor o mayor que un número par que sea múltiplo de 3, ello explica por qué todos los primos (excepto 2 y 3) son de la forma 6n +1 ó 6n -1. Así, la primalidad de 2 y 3 no está asociada con su ubicación entre los naturales. Asimismo, al igual que 1 entra en contradicción con el teorema fundamental de la aritmética si se le mira como número primo, 2 y 3 entran en contradicción con estas nuevas proposiciones. Para explicar este fenómeno tan singular es necesario introducir otros conceptos, lo cual está fuera del propósito de este artículo.
Al reubicar al 2 y el 3 según sus propiedades, se logró una representación que sitúa al resto de los primos en posiciones específicas predecibles, lo que permite obtener un conjunto cuyos elementos son en su mayoría números primos, así como algunos números compuestos que se ubican en posiciones correspondientes a los números primos, por lo que el autor los denominó números compuestos-p. Estos últimos son de gran importancia, no sólo para desvelar el orden de la sucesión de los números primos, sino también para el estudio de otros enigmas.


Excepto 2 y 3, un número primo únicamente puede ser una unidad menor o mayor que un número par múltiplo de 3, esta es una ley fundamental que explica entre otras cosas el origen de los primos gemelos y permite establecer una sucesión o conjunto en el que los números primos y los compuestos-p están ubicados en posiciones predecibles según las siguientes relaciones matemáticas: una elevación al cuadrado de un número primo, la multiplicación por su sucesor (en la sucesión) y una multiplicación por 2 (esta es una operación trascendental).
En dicha sucesión (ver más adelante la Tabla 1), los múltiplos (compuestos-p) de un número primo están ubicados hacia delante a una distancia 2p a partir de cada primo y de su cuadrado. Por ejemplo, los múltiplos de 5 están ubicados en posiciones +10 a partir de 5 y de 25, pues 5(2) = 10 y 5(5) = 25; los múltiplos de 7 están ubicados en posiciones +14 a partir de 7 y de 49, pues 7(2) = 14 y 7(7) = 49; los múltiplos de 11 a +22 después de 11 y de 121, pues 11(2) = 22 y 11(11 = 121, etc. De modo que los números primos surgen en aquellos sitios donde no corresponde a la distancia 2p de otros primos y sus cuadrados. Conocido esto, es posible encontrar a todos los números primos sin necesidad de recurrir a los criterios de divisibilidad.
Así, el orden de la sucesión de los números primos se explica en dos etapas; en la primera, una fórmula genera una sucesión completa de números primos y compuestos-p (o sea, los números compuestos ubicados en sitios de números primos). La segunda etapa es un algoritmo que opera según las relaciones matemáticas mencionadas, cuya recurrencia excluye a los compuestos-p y desvela la sucesión ordenada de todos los números primos sin recurrir a los criterios de divisibilidad. Demora más explicarlo, que ejecutarlo.


3np ± 1,
donde np se refiere a todos los pares naturales (2, 4, 6, 8, ….). Veamos algunos ejemplos:
3(2) = 6 ± 1 = 5; 7 (primos gemelos)
3(4) = 12 ± 1 = 11; 13 (primos gemelos)
3(6) = 18 ± 1 = 17; 19 (primos gemelos)
3(8) = 24 ± 1 = 23; 25 (el 25 es el primer compuesto-p, ver el algoritmo)
3(10) = 30 ± 1 = 29; 31 (primos gemelos)
Y así sucesivamente se puede continuar hasta donde se desee. Como se puede observar la fórmula genera números primos, pero también los números compuestos-p. Vea de este modo el origen de los primos gemelos y el por qué todos los números primos (excepto 2 y 3) son de la forma 6n -1 y 6n +1. Por tanto, también con 6n ± 1 (n se refiere a los naturales, 1, 2, 3, 4, 5…..) se logra la misma sucesión.


Antes de aplicarlo se debe construir una tabla que contenga los resultados de la fórmula. Por ejemplo, supongamos que aplicamos la fórmula a todos los números pares desde 2 hasta 40 (ver Tabla 1) con cuyos resultados formamos una correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales y en la que denotamos como Rn a cada resultado ubicado en la posición n. Por ejemplo, R1 = 5; R2 = 7; R3 = 11, etc.




El algoritmo identifica a los primos y a los compuestos-p. Este algoritmo sólo se inicia sobre los resultados Rn primos de la Tabla 1, o sea, no debe iniciarse sobre un compuesto-p:
Elevar al cuadrado el número y localizar en la tabla la posición del producto (éste será un compuesto-p).
Multiplicar por el Rn sucesor (sea primo ó compuesto-p) y localizar en la tabla la posición de este otro producto (también será un compuesto-p).
Multiplicar al número por 2, este resultado indicará la posición del resto de los compuestos-p asociados a este número.
Cada vez que se aplique el algoritmo a un Rn primo, se obtendrán todos los números primos menores que el cuadrado del primo sucesor.


Empezamos con el resultado R1 de la Tabla 1: El 5.
Elevar al cuadrado: 5(5) = 25. Observe en la Tabla 1 que 25 está ubicado en la posición 8, es decir, R8 = 25 (el primer compuesto-p), por tanto, así de sencillo todos los Rn menores que 25 son números primos. Al 25 se le hace una marca que lo identifique como compuesto-p, dicha marca no quiere decir que se elimina de la tabla, pues el 25 hará falta cuando se aplique el algoritmo al primo 23.
Multiplicar el 5 por su sucesor Rn: 5(7) = 35. Observe que R11 = 35 (se marca como un compuesto-p). Entonces, son números primos los Rn menores que R11, o sea, los primos gemelos, R9 = 29 y R10 = 31.
Multiplicar por 2 el número bajo estudio: 5(2) = 10. Este resultado nos guiará desde R8 = 25 y R11 = 35 para identificar la posición de todos los múltiplos o compuestos-p del 5. Así, en la Tabla 1 son múltiplos de 5 todos los números ubicados en las posiciones + 10 después de R8 y R11; o sea, R18 = 55, R21 = 65, R28 = 85, R31 = 95, R38 = 115 (se marcan como compuestos-p). Entonces, son números primos todos los Rn no marcados menores que 49 (el cuadrado de 7, o sea, el Rn primo sucesor del 5).



Elevar al cuadrado: 7(7) = 49. Posición en la Tabla 1: R16 = 49 (se marca como compuesto-p).
Multiplicar al 7 por su sucesor Rn en la tabla: 7(11) = 77. Posición: R25 = 77 (se marca como compuesto-p).
Multiplicar por 2: 7(2) = 14. Son múltiplos de 7 todos los Rn ubicados en las posiciones + 14 a partir de R16 y R25, o sea, R30 = 91 y R39 = 119 (marcarlos como compuestos-p). Son primos todos los Rn no marcados menores que el cuadrado del Rn primo sucesor del 7 (o sea, menores que 121, 11 al cuadrado).
De acuerdo con estas relaciones, los primos menores que 121 son (se muestran entre paréntesis los primos gemelos): (5;7), (11;13), (17;19), 23, (29;31), 37, (41;43), 47, 53, (59;61), 67, (71;73), 79, 83, 89, 97, (101;103), (107;109), 113.
Vea que no fue necesario multiplicar 5(11) para identificar al compuesto-p 55, ni tampoco 7(13) para identificar el 91, ni 7(17) para el 119, etc. Esto se cumple para cada número primo y continúa así, no únicamente para los números menores que 121, sino hasta el infinito.
Dadas estas relaciones, es posible una búsqueda exponencial de números primos. Si bien con tan sólo dos números (5 y 7) se obtienen todos los números primos menores que 121, al aplicarlo a los primeros 10 números primos, se encuentran todos los primos menores que 1 681, y con tan sólo investigar los 20 primeros, se obtienen todos los primos menores que 6 889; de modo que un ligero incremento en la cantidad de cálculos se traduce en un incremento exponencial en la cantidad de números primos encontrados, precisamente todo lo contrario de lo que sucede con otros métodos. Por otro lado, a medida que se avanza sobre números más grandes, prácticamente sólo se observan números primos.


Se reitera que el algoritmo nunca se inicia sobre un número compuesto-p. Por ejemplo, una vez aplicado el algoritmo al número primo 23, se obvia el compuesto-p 25 y se aplica el algoritmo al número 29. No obstante, cuando se use el algoritmo en el número 23 hará falta el número 25 en el paso dos, es decir, cuando se multiplica 23 por su Rn sucesor, en este caso -23(25)-, lo que permitirá localizar los múltiplos (compuestos-p) de 23. La importancia de esto radica en que cada compuesto-p, como 25, 35, 49, etc., ocupa un lugar de número primo y aunque se trata de un número compuesto, en dicha posición hace la función “espacial” de número primo para no romper la armonía.


Si sólo le importa encontrar números primos sin interesarse en las relaciones matemáticas que gobiernan la sucesión, puede (en la Tabla 1) marcar a partir del 25 todos los Rn que terminan en 5 y así de simple habrá realizado mucho más de la mitad de todo el trabajo (no importa la cantidad de primos que desea encontrar), luego puede aplicar el algoritmo mencionado a partir del número 7.
Si no desea realizar ninguna multiplicación entre primos y compuestos-p (o sea, si no quiere aplicar el algoritmo anterior), entonces tachar (en la Tabla 1) a partir del 25 todos los resultados Rn terminados en 5 (en esta variante puede eliminar los compuestos), luego tachar todos los resultados Rn que estén en la posición 2p a partir de cada primo y su cuadrado. Esto es posible porque los números primos, como ya se dijo, únicamente pueden formarse en aquellos sitios (posiciones) que no correspondan con la distancia 2p a partir de un primo y de su cuadrado.
Observe en esta última variante que hay que analizar una mayor cantidad de números primos para obtener los mismos resultados si se compara con el primer algoritmo, no obstante, tiene la ventaja que no es necesario hacer multiplicaciones entre primos y compuestos-p. Hay otras variantes sencillas, pero más laboriosas (en el conjunto de los naturales excluya a todos los números -n- situados a +2 a partir del 2 y luego a los situados a + 2n a partir de los impares no excluidos mayores que 1, son primos los números que no resulten excluidos). De cualquier modo advierta, que si bien fue éste un enigma difícil de resolver, es muy fácil de verificar.
Hasta aquí hemos visto que (excepto 2 y 3) los números primos sólo aparecen alrededor de números pares múltiplos de 3, lo cual permite establecer una primera sucesión en la que los números primos y sus productos compuestos-p (que hacen desaparecer en determinados sitios específicos a uno ó ambos primos gemelos) están ubicados en posiciones predecibles según las relaciones matemáticas expuestas, de este modo se explica el orden y la sucesión de estos números y se predice donde estarán ubicados los siguientes números primos, ello permite además calcular la cantidad exacta (no probabilística) de primos menores que un entero, incluso de primos gemelos, así como explicar otras conjeturas sobre estos números tales como la de Legendre, las fórmulas de Mersenne, Euler, Gauss, Fermat y muchas otras (no hay espacio en esta comunicación).
La simplicidad de estas relaciones matemáticas y su poca exigencia en materia de cálculos permiten ahora encontrar con facilidad una cantidad de números primos nunca antes imaginada. En otras palabras, ya es posible hallar todos los números primos que se deseen sin necesidad de recurrir a los laboriosos criterios de divisibilidad. Por otro lado, a partir de estos resultados se evidencia el riesgo a que están sometidas las claves electrónicas basadas en números primos; no obstante, en este artículo no se reveló un aspecto esencial en este sentido.
Finalmente, la metodología que permitió la resolución de los números primos es útil para resolver otros enigmas relacionados, tales como las sumas de cuadrados y el teorema de Pitágoras, la razón áurea, la sucesión de Fibonacci y el último teorema de Fermat (se publicarán más adelante). Al parecer los matemáticos no están teniendo en cuenta un tipo de relación que podría ser la clave para la solución de muchos problemas dentro y fuera de las Matemáticas. Para recibir el artículo completo comuníquese con el autor:
emartorellz@yahoo.es **** yacklondon2009@galeon.com (escribir a ambas direcciones).

Puede reproducir este artículo en otros sitios siempre que refiera la fuente:
http://transmultiversalidad.es.tl/La-solución-de-los-números-primos.htm




La variante para encontrar a los números primos directamente en el conjunto de los naturales implica excluir a todos los números -n- situados a +2 a partir del 2 y luego a los situados a + 2n a partir de los impares mayores que 1 que no queden excluidos.
Cada vez que se aplique esta ley a un número primo, se obtienen todos los primos menores que el cuadrado del primo sucesor. Lo explicaremos a través de un ejemplo.
Supongamos que queremos saber cuales son los números primos entre 1 y 50. Bien, tomamos los naturales de 1-50:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50

Tachar todos los números situados a +2 después del 2 (esto excluirá a todos los pares 4, 6, 8, 10, 12….50, pues son compuestos). Hasta aquí quedarían como primos 2, 3, 5 y 7, que no fueron tachados y que son menores que 9, el cuadrado del sucesor del 2, es decir, del 3.

Tachar los números situados a la distancia 2n a partir de los impares mayores que 1, o sea, a partir de 3. Así obtenemos que, 3(2)=6. Por tanto, al contar +6 a partir del 3 se desvela que debemos tachar a 9, 15, 21, 27, 33, 39 y 45. Por tanto, también son primos los números 11, 13, 17, 19 y 23, pues no fueron tachados y son menores que 25, o sea, el cuadrado del sucesor del 3, es decir, del 5.
Ahora el número sucesor impar sin tachar es el 5, por tanto multiplicamos 2(5)=10, que indica que debemos tachar todos los números ubicados a + 10 después del 5, es decir, 15, 25, 35 y 45. Por tanto, también son primos los números 29, 31, 37, 41, 43 y 47, que no fueron tachados y que son menores que 49, o sea, el cuadrado del número sucesor del 5, es decir, del 7.
Observe que ahora el impar sucesor sin tachar es el 7, por tanto, se concluye el proceso pues el cuadrado de 7 es igual a 49 (un número compuesto que es menor que el límite 50, este último ya excluido por ser un número par).
Se detiene el proceso porque recuerde que cada vez que se aplique esta ley a un número primo, se obtienen todos los primos menores que el cuadrado del primo sucesor.
Así tenemos que el orden de la sucesión de los números primos menores que 50 es (se muestran entre paréntesis los primos gemelos):
2, 3, (5, 7), (11, 13), (17, 19), 23, (29, 31), 37, (41, 43), 47
En el artículo original lo que se brinda es (según estas mismas relaciones) una variante más eficiente, pues a diferencia del conjunto de los naturales en que hemos tenido que revisar 50 números para encontrar a los primos menores que 50, en la otra variante con tan sólo estudiar 2 primos en un conjunto de 40 números, se encontraron todos los primos menores que 121.
O sea, en el conjunto de los naturales hay que trabajar más para lograr mucho menos de los beneficios que se obtienen con el otro método. Ello no tiene importancia cuando se buscan unos pocos primos, pero si se trata de una cuantía grande, la diferencia entre ambos métodos es significativa.


Estas relaciones nunca fallarán independientemente de la cantidad de números que estudiemos.


Debemos tener en cuenta que en el conjunto de los naturales un número compuesto sólo puede ser divisible por números menores que él. Por ejemplo, los divisores del 6 sólo puede ser números menores que 6, en tal caso sus divisores son 1, 2 y 3; no obstante, 6 no es divisible por 4 ni 5 por una razón muy explícita que explicaremos a continuación.
En el conjunto de los naturales cada número n se incrementa cada vez a si mismo, por lo que n será divisor de cada nuevo número situado a las distancias exactas de ese incremento, o sea, un número natural n es divisor de otro si y sólo si éste último se ubica a +n distancia de n. Expliquemos este fenómeno a través de ejemplos con los números 1, 2, 3 y 4:
El incremento del 1: 1+1 =2 +1 =3 +1=4, etc. Por esta razón todos los números (incluyendo a los números primos) son divisibles por 1.
El incremento del 2: 2+2 =4 +2 =6 +2 =8, etc., entonces cada dos números naturales uno de ellos es divisible por 2. Los números que no estén a esta distancia o secuencia no serán divisibles por 2. Por ejemplo, 5, 7, 9 ni ningún número impar será divisible por 2 porque no están ubicados a la distancia +2 del incremento del 2.
El incremento del 3: 3+3 =6 +3 =9 +3 =12, etc., entonces, cada tres números naturales uno de ellos es divisible por 3. Los números que no estén a esta distancia o secuencia no serán divisibles por 3. Por ejemplo, 5 y 7 no son divisibles por 3 porque no están situados a la distancia correspondiente del 3. En cambio, 6, 9 y 12 son divisibles por 3 porque están a una distancia +3 que se corresponde con su secuencia de incremento.
El incremento del 4: 4+4=8 +4 =12 +4 = 16, etc., entonces, cada cuatro números naturales, uno de ellos es divisible por 4. Los números que no estén a esta distancia de +4 no serán divisibles por 4. Volvemos a los ejemplos anteriores, 5, 6 y 7 no son divisibles por 4 porque no están en la secuencia de incremento del 4. En cambio, 8, 12 y 16 si lo son.
Y así sucesivamente para todos los números naturales.
Por tanto, queda demostrado que cuando un número natural esté ubicado en una posición que no corresponda con ninguna de las distancias de incremento +n de los números precedentes (excepto 1), entonces, dicho número natural no podrá tener ningún divisor, excepto el 1, en otras palabras, será un número primo.
Ahora detengámonos aquí un instante, si cada 2 números naturales, uno de ellos es divisible por 2 (2, 4, 6, 8….), significa (como todos sabemos) que ningún número de esta sucesión par mayor que 2 será primo; entonces, si cada tres números naturales, uno de ellos es divisible por 3, significa que en esta sucesión (3, 6, 9, 12, 15… hasta el infinito) no habrá tampoco ningún número primo pues todos son divisibles por 3.
Por tanto, después del 3, donde único quedaría sitio para un número que no tenga divisores sería en los sitios correspondientes a números impares ubicados alrededor de números pares múltiplo de 3, es decir, aquellos sitios ubicados una unidad por debajo o por encima de la sucesión +6: 6, 12, 18, 24, 30…. etc.
De ahí que los números primos mayores que 3 sólo pueden estar ubicados en estos sitios exactos, que al incrementarse en sus secuencias específicas +n (o mejor dicho, +p, p se refiere a número primo) dará lugar a números compuestos que también ocuparán dichos sitios más adelante según la distancia que corresponda y así impedir que se forme una pareja de primos gemelos. Por ejemplo, el 5 se incrementará a +5 en 10, 15, 20, 25, 30, 35…., etc.; el 7 se incrementará a + 7 en 14, 21, 27, 35, 42, 49…., etc.
Repetimos una vez más un ejemplo, el 7 es primo porque está ubicado en una posición que no corresponde con ninguna distancia +n de 2, 3, 4, 5 y 6 que son, a parte del 1, los números naturales menores que 7. Esto mismo ocurre para el resto de los números primos.
Por tanto, estas relaciones que explican el orden y la sucesión de los números primos se mantienen inalterables hasta el infinito por lo siguiente:
1. Dado que en el conjunto de los naturales, cada dos números, uno de ellos es divisible por 2, y cada tres números, uno de ellos es divisible por 3, estas relaciones excluyen a todos los sitios donde se ubican tales números compuestos, y predicen aquellas posiciones donde únicamente quedaría espacio para un número primo mayor que 3: o sea, alrededor de los números pares múltiplos de 3, tales como 6, 12, 18, 24, 30….., etc. Por ello observamos los primos gemelos 5 y 7 alrededor del 6; 11 y 13 alrededor del 12; 17 y 19 alrededor del 18. De igual forma, alrededor del 24 observamos por debajo al primo 23 y por encima al compuesto 25, pues este último está a la distancia +5 o secuencia del número primo 5 (vea el párrafo siguiente).
2. Por todo lo anterior es que se sugiere que en lugar de buscar a los primos en aquellos sitios en que no se cumpla una distancia +n (ó +p) de los primos precedentes, se sugiere buscarlo en aquellos sitios donde no se cumpla una distancia 2p porque, por ejemplo, sería una redundancia buscar los múltiplos de 5 a +5 después del 5, pues los números pares múltiplos del 5 tales como 10, 20, 30, etc. ya fueron descartados cuando se excluyeron a todos los pares, por esta razón es que se propone buscar a los primos en aquellos sitios donde no se cumpla una distancia +2p de los primos precedentes; ello únicamente puede ocurrir alrededor de los números pares múltiplos de 3.
Lo dicho hasta aquí es lo que garantiza que en cualquier conjunto de números naturales (no importa cuan grande sea), excepto 2 y 3, un número primo (p) sólo puede estar situado en una unidad por debajo o por encima de un número par que sea múltiplo de 3 si, y sólo si dicha posición no corresponde con la distancia 2p desde los primos precedentes. Estas relaciones son, afortunadamente, infalibles.