WWW. El origen de los números primos.



Un número primo (p) es un número natural que sólo es divisible por 1 y por él mismo, el resto se denomina compuesto. Por ejemplo, 5 es primo porque sólo es divisible por 1 y 5 (5:1= 5; 5:5= 1). Así ocurre con 7, 11, 13 y muchos otros. Sin embargo, el 6 es compuesto porque es divisible por 1, 2, 3 y 6, o sea, tiene otros divisores diferentes de 1 y 6; por esta misma razón 4, 9, 10, 12, etc. son también números compuestos. Aunque la distribución global de los números primos sigue una ley definida, su origen y comportamiento individual fue (hasta ahora) azaroso e impredecible. En este artículo se demuestra que no es el azar el que determina el origen y comportamiento individual de los números primos, sino una ley que garantiza un orden preciso. Un número natural es primo si está ubicado en una posición que no corresponde con la serie de los primos que le preceden.




Existen muchos antecedentes y conjeturas sobre los números primos; no obstante, aquí sólo se mencionan aquellos aspectos más importantes relacionados con el tema que nos ocupa: el origen de la sucesión individual de los números primos.
Desde la antigüedad nos llegó el primer método para encontrar números primos, la criba de Eratóstenes. Este hecho demuestra que desde entonces ya existía inquietud por desvelar la sucesión de los números primos, pero a su vez indica que no se conocía el origen de éstos, como tampoco, como predecir el próximo. Estas inquietudes han permanecido hasta el presente.
En la actualidad existen muchos otros métodos más avanzados para obtener números primos (basados principalmente en los criterios de primalidad); no obstante, el único método infalible continúa siendo el de la división, y consiste en comprobar si un número n tiene algún divisor propio, por lo que sucesivamente se divide a n entre los números menores que n, cuando la división resulta exacta (tiene resto cero) significa que n es compuesto, en caso contrario n es primo.
Pero estos métodos (primalidad, y luego divisibilidad), además de ser muy laboriosos (asociados a grandes gastos de tiempo y recursos, de los cuales todos quisiéramos librarnos de una vez y por siempre) no explican por qué n es un número primo, ni tampoco predicen dónde encontrar el próximo primo. Por ejemplo, con estos métodos no se puede responder por qué 23 no tiene otros divisores diferentes que no sean 1 y 23, ni tampoco predecir dónde estará el próximo número primo después de 23.
Lo que se quiere expresar es que con los métodos actuales, los números primos se obtienen por un proceso de exclusión y ninguno de estos métodos nos desvela cual es la ley que determina el origen, el orden y la sucesión individual de estos números.


Si examinamos los planteamientos de algunos grandes matemáticos sobre esta cuestión, nos percatamos de la incertidumbre que existía desde hace mucho tiempo en cuanto a que algún día se pudiera encontrar una ley que explicara el orden y la sucesión individual de estos números. Así por ejemplo, Leonhard Euler (1707-1783), manifestó: “Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos motivos para creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará”. Ello se debió a que, hasta ese momento, los estudios sobre los números primos siempre llevaron a la conclusión de que el comportamiento individual de éstos obedecía únicamente a las leyes del azar.


No obstante, el enfoque de Bernhard Riemann sobre la función zeta (en 1859), sirvió de orientación para que Hadamard y De la Vallée-Poussin (individualmente en 1896) demostraran el teorema de los números primos, lo que evidenció que la distribución “global” de los primos sigue leyes bien definidas. No obstante, su origen y sucesión “individual” continuó siendo un enigma asociado con las leyes del azar.
Este hecho se convirtió en una extravagancia, pues resulta poco comprensible que se pueda predecir la cantidad “global” de primos menores que un entero, mientras que al mismo tiempo sea imposible predecir el origen y el orden de la sucesión de cada número primo, que aparentemente continuaban siendo gobernados únicamente por el azar. Así el matemático inglés Godfrey H. Hardy dijo: “Cualquier tonto puede hacer preguntas sobre los números primos que el más sabio de los hombres sería incapaz de responder”.
Pasaba el tiempo y la contradicción entre la regularidad global y el imponente comportamiento caótico de la sucesión individual de los números primos se mantenía infranqueable, por lo que después de mucho trabajo, definitivamente llevó a Paul Erdös a señalar: “Puede que Dios no juegue a los dados con el universo, pero algo extraño está pasando con los números primos”.


Más tarde, en 1975, a pesar de los esfuerzos, todo continuaba prácticamente igual por lo que Don Zagier señaló: “Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que espero convencerles de forma tan incontestable que quedarán permanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, a pesar de su definición simple y del papel que desempeñan como ladrillos con los que se construyen los números naturales, los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y no parecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún más asombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primos muestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar”.
O sea, si bien se conocía que el comportamiento “global” de los números primos sigue leyes bien definidas, el origen y sucesión “individual” de los números primos continuó siendo un misterio.


En la actualidad, conocer la ley que gobierna el origen y la distribución individual de los números primos constituye, como en el pasado, uno de los objetivos más importantes de los matemáticos, pues ello serviría de fundamento para la creación del método que genere todos los números primos que se deseen sin tener que recurrir a los criterios de primalidad o divisibilidad.
Dado que la hipótesis de Riemann (uno de los siete problemas del milenio) refleja un patrón que aleja a los números primos del azar, este enfoque se convirtió en el instrumento más utilizado en la actualidad para la resolución de este enigma. No obstante, el presente artículo muestra que no es necesario verificar dicha hipótesis, al menos, para explicar el orden y la sucesión individual de los números primos.


Definiremos el problema a través de tres preguntas que se ha formulado la comunidad matemática a través de la historia.
1. ¿Cuál es el origen de los números primos?
2. ¿Es el azar ó es el orden lo que determina el comportamiento individual de los números primos?
3. ¿Dónde aparecerá el próximo número primo?


Mostrar el origen de los números primos, así como el patrón que determina el orden y la sucesión individual de estos números.


A partir de un conjunto de números se crearon varias bases de datos en la que los números naturales fueron analizados como variables independientes y dependientes. Después del análisis se crearon distintos modelos de predicción según el conocimiento adquirido y las nuevas propiedades desveladas.
En la simulación del conjunto de los naturales, se observó que cada número trasmuta continuamente en una serie numérica (empezando por el 1: 1+1=2 +1 =3, +1=4, etc.), por lo que existen infinitas series, no obstante, éstas comparten propiedades en la que los números primos ocupan espacios predecibles según el comportamiento de cada una de las series.


Dado que la mejor demostración es la que requiere la menor cantidad de axiomas, intentaremos mostrar estos resultados de la manera más elemental posible. Lo primero que haremos es revisar un comportamiento típico de los números naturales y que al parecer fue pasado por alto por Jacob y Johann Bernoulli (y también por los que les sucedieron) en el análisis del problema de Basilea.
A modo de introducción examinemos este comportamiento. En el conjunto de los naturales, cada número n se incrementa cada vez a si mismo en otros números k (k1, k2, k3…kn), por ejemplo, 1+1=2 +1=3 +1=4, etc., en el caso del 2: 2+2=4 +2=6 +2=8, etc., y así para cada número natural. Por el momento, es aconsejable que el lector se aleje de la supuesta simplicidad que aflora a partir de estas sencillas series numéricas.
Recordemos ahora que en el conjunto de los naturales un número compuesto sólo puede ser divisible por números menores que él. Por ejemplo, los divisores del 6 sólo pueden ser números menores que 6, en tal caso sus divisores son 1, 2 y 3; no obstante, 6 no es divisible por 4 ni 5 por una razón muy explícita que explicaremos a continuación.
Volvamos al comportamiento de las series de incremento de cada número natural. Como ya se dijo, cada número n se incrementa cada vez a si mismo en otros números k (k1, k2, k3…kn), por lo que n será divisor de cada nuevo número k, en otras palabras, un número natural n es divisor de otro número k si, y sólo si k se ubica a +n incrementos de n. Esto parece un trabalenguas, y quizás lo sea; por ello vamos a explicar este fenómeno a través de ejemplos con los números 1, 2, 3 y 4, adicionando un pequeño comentario en cada caso.


La serie de incremento del 1: 1+1 =2 +1 =3 +1=4 + 1=5 + 1=6 +1=7….., etc. Por esta razón todos los números (incluyendo a los primos) son divisibles por 1. Evitemos nuevamente la simplicidad de este enunciado, pues no lo es en absoluto. El 1 es el “ladrillo” fundamental, y no sólo porque su serie contiene a todos los números, sino por muchas otras razones (fuera del objetivo de esta comunicación).
La serie de incremento del 2: 2+2 =4 +2=6 +2=8……, etc., entonces cada dos números naturales uno de ellos es divisible por 2 (nada nuevo). Los números que no estén a esta distancia o serie de incremento no serán divisibles por 2. Por ejemplo, 5, 7, 9, ni ningún otro número impar será divisible por 2, pues no están ubicados en esta serie numérica.
La serie de incremento del 3: 3+3 =6 +3=9…., etc., entonces, cada tres números naturales uno de ellos es divisible por 3. Los números que no estén a esta distancia o en dicha serie, no serán divisibles por 3. Por ejemplo, 5 y 7 no son divisibles por 3 porque no están situados a la distancia correspondiente del 3. En cambio, 6, 9 y 12 son divisibles por 3 porque están situados a una distancia +3 que se corresponde con su secuencia o serie de incremento.
La serie de incremento del 4: 4+4 =8 +4=12 +4= 16….., etc., entonces, cada cuatro números naturales, uno de ellos es divisible por 4. Los números que no estén a esta distancia de +4 no serán divisibles por 4. Así, 5, 6 y 7 no son divisibles por 4 porque no están en la serie de incremento del 4. En cambio, 8, 12 y 16, si lo son.
Y así sucesivamente para todos los números naturales.


Por tanto, cuando un número natural esté ubicado en una posición que no corresponda con ningunas de las series de incremento +n de los números precedentes (excepto 1), entonces, dicho número natural no podrá tener ningún divisor, excepto el 1, en otras palabras, se originará un número primo.
Visto de este modo podemos establecer el siguiente enunciado: Un número natural será primo si, y sólo si está ubicado en una posición que no corresponda con la serie de +n incremento de los números que le preceden, excepto del 1. Por tanto, no es el azar lo que determina el origen, ni la sucesión individual de los números primos.


Ahora detengámonos aquí un instante, si cada 2 números naturales, uno de ellos es divisible por 2 (tales como 4, 6, 8, 10….), significa (como todos sabemos) que ningún número de esta serie mayor que 2 será primo; de igual modo, si cada tres números naturales, uno de ellos es divisible por 3, significa que en esta otra serie (3, 6, 9, 12, 15…) no habrá tampoco ningún número primo, pues todos ellos serán múltiplos de 3.
Visto así, después del 3, donde único quedaría sitio para que un número no tenga divisores (excepto el 1) sería exclusivamente en aquellos sitios alrededor de los números pares múltiplos de 3, es decir, en sitios ubicados una unidad por debajo o por encima de la sucesión +6: 6, 12, 18, 24, 30…. etc.
Esta es la razón por la que surgen los primos gemelos 5 y 7 alrededor del 6 (pues, 5 y 7 están ubicados cada uno en una posición que no corresponde con ningunas de las series +n de 2, 3, 4, 5 y 6 que son, a parte del 1, los números naturales menores que 7 (es decir, sus únicos posibles divisores); esto mismo explica la existencia de los primos gemelos 11 y 13 alrededor del 12; al igual que 17 y 19 alrededor del 18. Desde luego, por debajo del par 24 observamos el primo 23, y por encima, al compuesto 25, pues este último está a la distancia +5 o en la serie numérica de incremento del 5, por tanto, en dicha posición únicamente puede haber un número compuesto.


Visto así, los números primos (p) mayores que 3 sólo pueden estar ubicados en estos sitios puntuales (son los sitios de los números primos), desde los cuales también cada uno de ellos originará su propia serie específica +n (o mejor dicho, +p) dando lugar a nuevos números compuestos (cuadrados perfectos) y compartiendo otros números compuestos (común múltiplos) que también ocuparán estos mismos sitios más adelante según la serie que corresponda, para de este modo impedir que se forme una pareja de primos gemelos, tal como ocurre con el 25.


Dado que todos los primos mayores que 3 son impares, es muy simple demostrar que el incremento de cada primo mayor que 3 pasará alternamente por un número par, por ejemplo, el 5 se incrementará en +5 del siguiente modo: 5, 10, 15, 20, 25, 30… etc. Y como ya sabemos que todos los números pares mayores que 2 son compuestos, entonces se desprende que en lugar de buscar a los primos en aquellos sitios en que no se cumpla una distancia +p de los primos precedentes, se infiere buscarlos en aquellos sitios donde no se cumpla una distancia +2p.
Visto de este modo, podemos establecer el siguiente enunciado: Es primo todo número natural situado una unidad por debajo o por encima de un número par múltiplo de 3 y cuya posición no corresponda con la serie de incremento +2p de primos precedentes.
A pesar de su simplicidad, este enunciado permite demostrar muchas conjeturas sobre los números primos, tales como la de los primos gemelos (a partir de 5 y 6), la conjetura de Legendre, las fórmulas de Mersenne, Euler, Gauss, Fermat y muchas otras.


Ahora es fácil contestar esta pregunta. Y no únicamente podemos predecir donde está el próximo, sino todos aquellos ubicados por debajo del cuadrado del primo sucesor, pues una vez conocido un número primo, significa de hecho predecir sus sucesores.
Dado el último número primo p de la sucesión, serán también primos todos los números mayores que p (p1, p2, p3…pn) que no se encuentren en la serie numérica de p, ni de los primos precedentes de p y que sean menores que el cuadrado del número que surja inmediatamente después de p.
Por ejemplo, dado el primo 2, son también primos, 3, 5 y 7, pues, son los números mayores que 2 que no están en su serie numérica y que son menores que 9, el cuadrado de 3, que fue el número primo que surgió inmediatamente después del 2, o lo que es lo mismo, el sucesor del 2.
Otro ejemplo, dado el número primo 3, serán también primos, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23, pues son los números mayores que 3 que no se encuentran en la serie numérica de 2 ni de 3 y son menores que 25 (el cuadrado de 5, que es el número primo que aparece como sucesor de 3).


Podemos optimizar esta ley de la siguiente forma. Para encontrar a los números primos en el conjunto de los naturales basta con ignorar a todos los números n situados a +n a partir del 2 (es decir a +2) y luego a los situados a + 2n a partir de los impares mayores que 1 que no queden excluidos.
Cada vez que se aplique esta ley a un número primo, se obtendrán todos los primos menores que el cuadrado del primo sucesor. Lo explicaremos a través de un ejemplo.
Supongamos que queremos saber cuales son los números primos entre 1 y 50. Bien, tomamos los naturales de 1-50:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50.


Ignorar a todos los números situados a +2 después del 2 (o sea, 4, 6, 8, 10, 12….50), pues pertenecen a la serie numérica de incremento del 2 y por tanto, son todos números compuestos. Hasta aquí quedarían como primos 2, 3, 5 y 7, pues son los números menores que el cuadrado del sucesor del 2, o sea, menores que 9 (3 al cuadrado) y que no pertenecen a la serie del 2.


Ignorar a los números situados a la distancia +2n a partir de los impares mayores que 1, o sea, a partir de 3. Así obtenemos que, 3(2)=6. Por tanto, al contar +6 a partir del 3 se desvela que debemos ignorar los números 9, 15, 21, 27, 33, 39 y 45. De modo que también son primos los números que no se encontraban a una distancia +2p de los números precedentes (excepto del 1) y que son menores que el cuadrado del sucesor del 3, es decir, menores que 25 (el cuadrado de 5). Ellos son: 11, 13, 17, 19 y 23.
Ahora el número primo sucesor es el 5, por tanto multiplicamos 2(5)=10, que indica que debemos ignorar a todos los números ubicados a +10 después del 5, es decir, 15, 25, 35 y 45. Por tanto, también son primos los números 29, 31, 37, 41, 43 y 47, pues no se encontraban a una distancia +2p de los primos precedentes (excepto del 1) y que son menores que 49, el cuadrado de 7, o sea, el sucesor del 5.
Así tenemos que el orden de la sucesión de los números primos menores que 50 es (se muestran entre paréntesis los primos gemelos):
2, (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), 23, (29, 31), 37, (41, 43), 47
Conocidas estas relaciones también se pueden diseñar otras estrategias mucho más eficientes para predecir donde encontrar a todos los primos que se deseen sin recurrir a los criterios de divisibilidad ó primalidad.


Se puede obtener una sucesión de números a partir de la fórmula 3np ± 1, (donde np se refiere a los números naturales pares, 2, 4, 6, 8….) ó con la fórmula 6n ± 1 (n se refiere a los naturales 1, 2, 3, 4…..) y luego ignorar a todos los números que se encuentren a una distancia +2p de cada número primo y de su cuadrado, el resto constituye el conjunto de los números primos mayores que 3.
Por ejemplo, supongamos que aplicamos la fórmula 6n ± 1 a todos los números naturales desde 1 hasta 20, tales como, 6(1) ± 1= 5 y 7; 6(2) ± 1= 11 y 13; 6(3) ± 1= 17 y 19…. 6(20) ± 1= 119 y 121. De este modo, obtendríamos la siguiente sucesión de números:
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121.
Lo que hemos hecho aquí no es más que excluir del conjunto de los naturales a todos los números pares mayores que 2 y a todos los impares múltiplos de 3, pues ya sabemos que todos son compuestos. O sea, estamos trabajando únicamente sobre los sitios donde podrían ubicarse los números primos, con esta maniobra hemos creado un conjunto de números en el que la densidad de números primos es mucho mayor que en el conjunto de los naturales y su comportamiento muy interesante de acuerdo con una variable en particular (los interesados pueden comunicarse con el autor).
Dado que conocemos la ley que determina el origen de los números primos, podemos hacer los reajustes necesarios para predecir donde encontrarlos a todos en este nuevo conjunto. En el fondo es la misma ley pero lo que estamos haciendo es optimizando el método (un algoritmo más eficiente) para que nos reporte mayores beneficios. En esta variante, lo que hacemos es ignorar el cuadrado de p y todos los números ubicados a +2p después de p y de su cuadrado.
Así, en este nuevo conjunto, cada vez que se aplique la ley a un número primo p se predice donde estarán ubicados todos los primos menores que el cuadrado de p. Por lo que también en este conjunto, no sólo se predice donde estará ubicado el próximo primo, sino todos aquellos que son menores que el cuadrado p. Veámoslo en la práctica.


Volvamos al conjunto de números obtenido a través de la fórmula 6n ± 1, o sea:
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121.
Aquí la ley nos guía del siguiente modo. Ignoramos el cuadrado de cada número n que perdure en el conjunto, así como todos los números ubicados a +2n después de cada n y de su cuadrado. Los números que no estén en tales sitios, constituyen el conjunto de los números primos mayores que 3.
Empezamos con el 5, 5(2)= 10, este resultado significa que se ignoran todos los números situados a +10 después del 5 y de su cuadrado (25), vea que los números ubicados a +10 después del 5 son: 35, 65 y 95; y los ubicados a +10 después de 25 son: 55, 85 y 115, por lo que todos estos números, incluido el 25, deben ser ignorados; entonces, por ahora, podemos asegurar que son primos todos los números menores que el cuadrado de 5 (los menores que 25), es decir: 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23.
Luego aplicamos la ley al número 7, así, 7(2)= 14, lo que significa que ignoramos los números ubicados a +14 después del 7 y de su cuadrado 49 (estos son 49 y 91), con lo que podemos asegurar que también son primos todos los números menores que el cuadrado de 7 (menores que 49), o sea: 29, 31, 37, 41, 43 y 47. Observe que para el primo 7, la distancia 2p coincide con su cuadrado 49, esto tiene su explicación (por ahora fuera del alcance de los objetivos de esta comunicación).
Continuamos con el 11; multiplicamos 11(2)= 22, por tanto, ignoramos los números ubicados a +22 a partir del 11 y de su cuadrado (121), en tal situación únicamente podemos ignorar al 121 (el cuadrado de 11) y 77 (el único número situado a +22 después del 11). Al no disponer de los números mayores que 121, se concluye el proceso.
De modo que en este conjunto, los números primos menores que 121 son (se muestran entre paréntesis los primos gemelos): (5;7), (11;13), (17;19), 23, (29;31), 37, (41;43), 47, 53, (59;61), 67, (71;73), 79, 83, 89, 97, (101;103), (107;109), 113.


Observe la ventaja de estas relaciones a través de esta variante. Dado este algoritmo, es fácil comprender que a medida que se avanza sobre números más grande, prácticamente lo único que se observan son números primos, cada vez con menos esfuerzo. Mientras que en el conjunto de los naturales de entre 1 y 50 se predicen los primos menores que 49, en este último método en un conjunto de tan solo 40 números, a partir de los tres primeros (5, 7 y 11) se pudo predecir donde estaban ubicados todos los siguientes números primos menores que 121.
Veamos entonces una comparación del valor de π(n) entre el conjunto de los naturales y el conjunto derivado de la fórmula 6n ± 1, representado aquí como π(n-F), o sea, la cantidad de primos en distintos totales del conjunto derivado de la fórmula. Observe (Tabla 1, Figura 1) como aumenta extraordinariamente (línea roja) la cantidad de primos menores que un entero en el conjunto de números derivados de la fórmula.


Advierta (Tabla 1, Figura 1) que mientras en el conjunto de los naturales la cantidad de primos contenidos entre 1 y 50 es de 15, en el nuevo conjunto es de 34; del mismo modo, mientras que entre los primeros 1000 números naturales hay 168 números primos, entre los primeros 1000 números del nuevo conjunto existen 428, de ahí la diferencia que se observa en la Figura 1.
O sea, que tanto en el conjunto de los naturales como en aquel derivado de la fórmula, esta ley permite una predicción exponencial de números primos. Si bien con tan sólo tres números, 5, 7 y 11 (nos referimos a la última variante) se predice donde encontrar los siguientes números primos menores que 121, al aplicarlo a los primeros 10 números primos, se predice donde localizar a todos los siguientes primos menores que 1 369, y con tan sólo investigar los 20 primeros números primos, se predice donde estarán situados todos los primos menores que 6 241.
De modo que un ligero aumento en la cantidad de cálculos se traduce en un incremento exponencial en la predicción de la cantidad de números primos, justamente lo contrario de lo que sucede con otros métodos de investigación de números primos.
Además, todos estos resultados se obtienen sin necesidad de recurrir a criterios de primalidad o divisibilidad. Hay otras variantes aún más eficientes, pero quizás un poco más compleja de ejecutar; no obstante, dicha variante evidencia otras relaciones importantes. (ver: http://transmultiversalidad.es.tl/La-solución-de-los-números-primos.htm).
Puede reproducir este artículo en otros sitios siempre que refiera la fuente. Publicado en: http://transmultiversalidad.es.tl/El-origen-los-números-primos.htm